La dynamique de découverte sur le long terme et la loi de Heaps

Crédit illustration : Célestin Zimmerlin

Auxquels de ces énoncés adhérez-vous intuitivement ?

• « Les algorithmes nous enferment dans nos habitudes, on tourne de plus en plus en boucle sur les mêmes morceaux »
• « Le contenu disponible sur les plateformes est quasi infini, donc les utilisateurs zappent inlassablement d’un morceau à l’autre, et de plus en plus à mesure que les outils d’exploration et recommandation se développent »
• « On forme ses goûts musicaux quand on est jeune, puis on répète ses classiques personnels par la suite : le goût de la découverte se perd au cours de la vie »
• « Les jeunes tournent en boucle sur les mêmes morceaux, puis élargissent leur goût par la suite »
• « Les moyens de produire et distribuer la musique se démocratisent, de plus en plus de musique sort toutes les semaines, ce qui pousse les auditeurs à toujours plus de découvertes »

Bien sûr, certaines de ces affirmations sont contradictoires entre elles, et chacun aura ses intuitions et anecdotes pour aller dans un sens ou dans l’autre. Mais la question principale commune à ces énoncés est celle de la dynamique de la découverte de musique sur le long terme : découvre-t-on autant, moins, ou plus de musique au cours de notre vie ?

C’est quoi une découverte musicale ?

Pour répondre à ce type de questions, il faut d’abord avoir accès à des données d’écoute en streaming, et un recul suffisant sur des périodes où la transition vers ce mode d’écoute est déjà achevée et stabilisée. Ça tombe bien, nous avons accès aux historiques d’écoutes sur Deezer, de 2018 à 2023, de quelques milliers d’utilisateurs réguliers de cette plateforme.

Il faut ensuite définir ce qu’on entend par découverte. On ne parlera pas ici de diversité, qui désignerait plutôt si la musique écoutée est associée à des genres, artistes ou moods différents. Pour simplifier on considère qu’il y a découverte à chaque fois qu’un utilisateur interagit avec un morceau pour la première fois, c’est à dire la première fois que ce morceau apparaît dans son historique d’écoute. On pourrait objecter que toutes ces découvertes ne se valent pas. Certaines donneront lieu à des répétitions passionnées, quand d’autres seront complètement oubliées. D’ailleurs, peut-être l’utilisateur avait-il déjà écouté ce morceau en dehors de Deezer, ou bien n’était pas vraiment là, pas vraiment attentif, peut-être qu’il s’était endormi ou qu’il avait laissé tourner l’algo alors qu’il n’était plus dans la pièce… Tout cela est vrai, mais :

1. on ne peut pas tout savoir, mais il faut bien essayer de mesurer le phénomène pour espérer le comprendre
2. même si toutes ces découvertes ne se valent pas, chacune d’entre elles nous intéresse.

Par exemple, si une auditrice a tendance à écouter les nouveaux albums le vendredi sans presque rien ré-écouter ensuite, c’est un comportement qu’on veut mesurer. Si elle laisse tourner en voiture l’algorithme de recommandation, on veut le prendre en compte aussi. Cela reste des pratiques d’écoute et de découverte musicale, même si à ce stade cela ne nous dit pas lesquelles contribuent vraiment au goût de la personne, lesquelles sont signifiantes pour elle. Un critère cependant : le morceau doit avoir été écouté au moins 30 secondes pour être comptabilisé. C’est le seuil retenu dans l’industrie musicale pour qu’un stream soit rémunéré.

Mesurer la croissance des dictionnaires musicaux personnels

Lorsque les physiciens s’intéressent à ce genre de questions, un outil qu’ils sont susceptibles de sortir avec enthousiasme s’appelle la loi de Heaps (Heaps’ law). L’idée est de regarder comment évolue la taille D du  « dictionnaire »  — pour nous, le nombre de chansons différentes écoutées au moins une fois par une personne — en fonction de la taille k de la séquence — pour nous, le nombre total de ses écoutes. C’est un outil très général, qui peut s’appliquer à tout système qui peut être représenté comme une séquence ordonnée d’éléments (tokens) qui sont de différentes catégories (types). On peut représenter cette évolution avec un type-token plot, comme sur cette figure :

Un exemple de croissance d’un « dictionnaire » personnel de morceaux de musique, au fil des écoutes. Les 5 premières écoutes sur plateforme de cette utilisatrice fictive ont été consacrées au morceau orange, puis elle est passée au morceau violet qu’elle a écouté deux fois. Après ses sept premiers streams (k=7) elle avait écouté deux morceaux différents (D=2) ; puis au bout de 20 streams 4 morceaux différents.

Heaps ?

La loi de Heaps c’est quand le nombre D évolue comme le nombre k élevé à une puissance α :

D(k) ∝ k^α

Si α est égal à 1, le nombre de découvertes augmente proportionnellement aux écoutes, donc à un rythme constant, sans accélérer ni ralentir. Si α est inférieur à 1, le rythme de découverte ralentit au cours de la séquence. En fait, α permet de quantifier la dynamique de découverte au fil des écoutes. Pratique.

Initialement, la loi de Heaps vient de la linguistique. Elle décrit la façon dont la taille du vocabulaire utilisé dans un texte (le nombre de mots différents) croît au fur et à mesure qu’on avance dans le texte. Elle a ensuite été observée dans d’autres systèmes d’intérêt pour la physique statistique des systèmes complexes (en génétique, bases de données, …). Mieux encore : on peut montrer qu’on obtient la loi de Heaps lorsqu’on choisit le contenu de la séquence au hasard en suivant la loi de Zipf, une autre loi star en physique des systèmes complexes.

Heaps et Zipf

Dans notre contexte, cette loi de Zipf décrit comment l’attention d’une personne se répartit sur les chansons qu’elle écoute, c’est-à-dire son nombre d’écoutes de chacune des chansons qu’elle a écoutées, classées par ordre décroissant :

f(r) ∝ 1/r^ν

Si ν est proche de 1, ça veut dire que la deuxième chanson la plus écoutée par une personne sera en fait deux fois moins écoutée que la première ; la troisième chanson trois fois moins écoutée que la première, et ainsi de suite.

Il s’avère que cette loi de Zipf s’avère être une approximation raisonnable pour décrire comment beaucoup d’auditeurs répartissent leur attention parmi les morceaux qu’ils écoutent. On s’attend donc à trouver de belles lois de Heaps, avec des valeurs α inférieures à 1. En effet, la loi de Zipf nous dit que quelques morceaux sont écoutés beaucoup plus fréquemment que d’autres, et donc une fois que ces morceaux sont « découverts », on va beaucoup les répéter et moins découvrir. C’est le cas standard Zipf / Heaps, pour les textes par exemple.

L’importance des corrélations temporelles la découverte

Est-ce que ça marche alors ? Pas vraiment. Tout fonctionnerait ainsi si les gens découvraient de la musique au hasard.

Sur la figure ci-dessous, à droite on a représenté le fameux type-token plot de la séquence d’écoutes réelle d’une auditrice, sur plusieurs années (en rouge foncé). On a aussi tracé ce type-token plot mais cette fois pour une séquence où l’ordre chronologique de ses écoutes à été mélangé aléatoirement (en rouge clair). Sur la figure de gauche à titre de comparaison on a tracé le type-token plot obtenu pour un texte, Moby Dick d’Herman Melville, là aussi en considérant le texte dans l’ordre (vert foncé) et après avoir mélangé les mots du texte (vert clair).

Dans le cas du texte, les « découvertes » dans le texte original (les nouveaux mots) apparaissent exactement comme si les mots étaient choisis au hasard. On voit que dans les deux cas (texte ordonné comme mélangé), la croissance est nettement sous-linéaire. C’est exactement la logique décrite précédemment, où les mots les plus fréquents apparaissent dès le début, puis les mêmes mots sont réutilisés, peu de nouveaux mots apparaissent et le rythme d’apparition de nouveaux mots dans le texte ralentit.

Mais dans le cas de la musique, l’ordre temporel des découvertes est complètement décorrélé de celui qu’on obtiendrait par tirage aléatoire. La trajectoire où l’ordre des écoutes a été mélangé aléatoirement ressemble à ce qu’on voit dans les textes. Mais la trajectoire réelle de découverte de musique est elle très différente, et beaucoup plus proche de la linéarité, donc d’un rythme de découverte constant au fil du temps. Et ce qu’on voit pour cette auditrice particulière est vrai pour la plupart des auditeurs-trices.

On dit que ces évolutions sont qualitativement différentes. Elles sont la signature de mécanismes différents, responsables de la façon dont les découvertes apparaissent, entre l’écoute musicale, et les textes écrits (cas d’application de base de Heaps). Pourtant, ces différents systèmes ont parfois pu être analysés de la même manière par les physiciens, en les « résumant » puis les comparent à l’aide de l’exposant α de la loi de Heaps — comme si ces systèmes étaient des réalisations différentes de modèles similaires.

Qu’est-ce qu’on a compris ?

La conclusion est double :

1. Sur le plan méthodologique, l’exposant de Heaps α mesure potentiellement des phénomènes de nature différente : comment l’attention est répartie sur les chansons (dans le cas aléatoire), mais aussi comment les découvertes sont corrélées entre elles. Ce n’est donc pas un outil à utiliser en généralisant d’un système à l’autre.
2. La réponse aux questions posées en ouverture est : cela dépend des individus, mais le comportement moyen est d’être très légèrement sous-stationnaire — autrement dit, quasi-constant dans la découverte au fil des écoutes. Et ce rythme de découverte n’a rien à voir avec la façon dont les auditeur·trices répartissent leurs écoutes entre les chansons.

Au risque de décevoir, les cinq affirmations en introduction resteront donc sans réponse tranchée. Ce qu’on peut dire, c’est qu’aucune n’est vraie pour l’ensemble des auditeur·rices : la diversité des comportements individuels est trop grande. Mais si on cherche une tendance centrale, elle existe : en moyenne, le rythme de découverte reste stable ou quasiment dans le temps.

L’article correspondant a été publié le mois dernier dans la revue Physical Review E : C. Zimmerlin, T. Louail, M. Moussallam, M. Barthelemy (2026), Dynamics of discovery and the Heaps-Zipf relationship, Phys. Rev. E 113, 054304 – Published 11 May, 2026. https://doi.org/10.1103/543d-frbq